Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.
Đang xem: đại số tuyến tính là gì
. Không gian này thường được biểu diễn bằng các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở của nó là hệ gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i=(1,0) và j=(0,1). Mọi vectơ của
R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}}
đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong
R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}}
không chỉ có một cơ sở, có rất nhiều hệ hai vectơ như thế. Tổng quát cho một không gian vectơ bất kỳ ta có:
Mục lục
Định nghĩa
Một tập hợp B của các vectơ b1,…,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như
B là một tập hợp độc lập tuyến tínhB là tập hợp sinh của V, nghĩa là span(B) = V
Khi đó (với n hữu hạn) số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V.
Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ
B = { b i | i ∈ I } {displaystyle B={b_{i}|iin I}}
, với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó V được gọi là không gian vô hạn chiều.
Trong không gian
R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}}
, số vectơ trong cơ sở bằng số chiều của không gian bằng n.
Tính chất
Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian V hữu hạn chiều có số phần tử như nhau.Mọi vectơ v của B biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở B.Hai không gian hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và mọi đẳng cấu tuyến tính biến một cơ sở thành cơ sở.
Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sở
Bài chi tiết: Phép chuyển cơ sở
Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B.Chẳng hạn
nếu v = k 1 . b 1 + k 2 . b 2 + . . . + k n . b n {displaystyle k_{1}.b_{1}+k_{2}.b_{2}+…+k_{n}.b_{n}}
thì
( k 1 , k 2 , . . . , k n ) {displaystyle (k_{1},k_{2},…,k_{n})}
là toạ độ của v trong cơ sở B.Cho hai cơ sở B={b1,b2,…,bn} vàB’ ={b’ 1,b’ 2,…,b’ n}. Giả sử vectơ v có toạ độ trong cơ sở B và B’ tương ứng là
( k 1 , k 2 , . . . , k n ) {displaystyle (k_{1},k_{2},…,k_{n})}
và
( k 1 ′ , k 2 ′ , . . . , k n ′ ) {displaystyle (k’_{1},k’_{2},…,k’_{n})}
. Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B’ như sau
b 1 = c 1 , 1 b 1 ′ + c 1 , 2 b 2 ′ + . . . + c 1 , n b n ′ b 2 = c 2 , 1 b 1 ′ + c 2 , 2 b 2 ′ + . . . + c 2 , n b n ′ . . . b n = c n , 1 b 1 ′ + c n , 2 b 2 ′ + . . . + c n , n b n ′ {displaystyle {begin{matrix}b_{1}=c_{1,1}b’_{1}+c_{1,2}b’_{2}+…+c_{1,n}b’_{n}_{2}=c_{2,1}b’_{1}+c_{2,2}b’_{2}+…+c_{2,n}b’_{n}…_{n}=c_{n,1}b’_{1}+c_{n,2}b’_{2}+…+c_{n,n}b’_{n}end{matrix}}}
.Khi đó v=
∑ i = 1 n k i . b i {displaystyle sum _{i=1}^{n}k_{i}.b_{i}}
=
∑ i = 1 n k i . ( ∑ j = 1 n c i , j . b j ′ ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}k_{i}.left(sum _{j=1}^{n}c_{i,j}.b’_{j}right)}
=
∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 n c i , j . k i ) . b j ′ {displaystyle sum _{j=1}^{n}left(sum _{i=1}^{n}c_{i,j}.k_{i}right).b’_{j}}
.
Như vậy
k j ′ = ∑ i = 1 n c i , j . k i {displaystyle k’_{j}=sum _{i=1}^{n}c_{i,j}.k_{i}}
được gọi là công thức đổi cơ sở.
Xem thêm: Giải Toán Lớp 4 Trang 112: Phân Số Bằng Nhau, Bài Tập Phần Hai Phân Số Bằng Nhau
Cơ sở chính tắc
Trong không gian
R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}}
, hệ gồm n vectơ đơn vị:
e 1 = ( 1 , , . . . , ) e 2 = ( , 1 , . . . , ) . . . . . . . e n = ( , , . . . , 1 ) {displaystyle {begin{matrix}e_{1}=&(1,&0,&…&,0)e_{2}=&(0,&1,&…&,0).&.&.&…&.e_{n}=&(0,&0,&…&,1)end{matrix}}}
lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của
R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}}
.
Ví dụ:
{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}}
.Độc lập tuyến tínhTổ hợp tuyến tínhKhông gian vectơPhép chuyển cơ sở
Tham khảo
Vô hướngVectơKhông gian vectơPhép nhân vô hướngChiếu vectơHệ sinhÁnh xạ tuyến tínhPhép chiếu tuyến tínhĐộc lập tuyến tínhTổ hợp tuyến tínhCơ sởChuyển cơ sởVectơ hàng và cộtKhông gian hàng và cộtHạt nhânGiá trị riêng và vectơ riêngMa trận chuyển vịHệ phương trình tuyến tính
Định thứcTích vectơTích baTích vectơ 7 chiềuĐại số hình họcĐại số ngoàiSong vectơĐa vectơTenxơCấu xạ ngoài
Floating-pointBình phương tối thiểu tuyến tínhỔn định sốBasic Linear Algebra SubprogramsMa trận thưaComparison of linear algebra libraries